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运用数形结合思想解决初中数学二次函数问题

来源:思想汇报 时间:2024-02-03 17:19:01

别刚

摘要:一说到初中数学很多人都会联想到函数、几何图形、实数、无理数以及方程等内容,其中函数部分的学习令很多学生感到头疼,自变量x与因变量y的关系让学生一头雾水,脑内很难有一个详细的概念。而数形结合的思想,能够帮助学生更加清晰、直观地理解与观察函数图形,将抽象的函数概念具体化,从而探究函数的奥秘。本文从“数”到“形”以及从“形”到“数”的转化入手,讲述如何灵活切换与变通,帮助学生提升学习二次函数的效率,解决二次函数教学难题。

关键词:数形结合  初中数学  二次函数

中图分类号:A 文献标识码:A

引言

在数学解题与学习的过程中,数形两者缺一不可。若形缺数,则难入微;若数缺形,则太抽象,只有两者结合,才能将问题具体化、形象化,便于学生思考与探究问题。学生运用数形结合的转化思想,将“抽象函数概念”与“直观图形”关联互补,这相当于在解决二次函数问题的过程中如虎添翼,锻炼学生思维能力、转化能力的同时,也能省时省力的理解二次函数的概念,加强学生对于二次函数的运用能力。

一.“数”到“形”的转化

相较于几何图形而言,二次函数涉及的知识面广,学生不仅需要理解图像本身的性质与涵义,还需要与坐标轴中的其他图形结合,探究图形与图形之间的关系,对于学生综合能力的考验较大。因此,初中数学教师在讲解二次函数课程的时候,需要引导学生“数”到“形”的转化,教导学生如何运用函数解析式来绘制图像,并且能够用一个坐标轴画出多个函数,从而帮助学生更加直观地观察函数之间的关系,解析函数综合题,提升动手能力与思维能力。

例如,“在一坐标轴第一象限当中,已知二次函数图像y=x²+4x+3与y=4x+k有一个交点,求k的取值范围。”像这类求取值范围的题目,经常出现在二次函数的例题与考题之中,是教师教授学生“数”与“形”转化思想的关键。学生如果以传统的计算方式,先要将两个函数建立方程式求实数根,根据b²-4ac≥0,得出k的取值范围k≥3。同时学生还需要根据题目信息“第一象限”的条件,最终得出k>3。不难发现,传统计算的方式要求学生有着较高的思维能力以及综合能力,对于后进生来说理解难度较大,很多学生一粗心也容易做错题目。因此,教师可以用数形结合思想,引导学生在坐标轴内画出抛物线图像,通过抛物线与一次函数在第一象限中的图像来解题。二次项系数a决定了开口方向,a>0开口向上,a<0开口向下,本题抛物线开口向上;c作为常数项,决定了与y坐标轴的交点,本题为(0,3)。根据二次函数算出抛物线的坐标轴为x=-2,学生能够画出准确的二次函数图像,并结合“第一象限”的关键词,学生能够一下子判断出k>3,从而加强学生对于函数的理解,提升学习效率。

二.“形”到“数”的转化

二次函数y=ax²+bx+c都是以y=ax²为原型在坐标中移动得来的抛物线,很多学生难以理解这一过程,无法掌握二次函数的本质。因此,教师可以引导学生“形”到“数”的转化,让学生从y=ax²入手,在坐标轴中左右移动,得出函数y=a(x-m)²,上下移动得到y=ax²+k的图像,深刻体会a,m,k等数据在函数图像中的表现,从而提取数据,解决二次函数对称轴、开口方向、顶点、与x轴交点等信息,并以此解决二次函数问题。

例如,“y=x²-2x+3的图像先整体向右平移4个单位,在向上平移1个单位,求平移后的函数解析式。”传统的解题方式是教师帮助学生理清因变量与自变量的关联性,结合题干中的信息得出y=(x-4)²-2(x-4)+3+1,整理后可得解析式为y=x²-10x+28。而“形”到“数”转化的方法是以顶点式解析,教师可以引导学生画出原函数的图像,得出顶点(1,2),之后直接将函数图像在坐标轴中平移,得出新的解析式顶点(5,3),从而得出新的函数解析式数据y=(x-5)²+3,最终整理得出解析式。教师也可以通过同题型加强学生的理解,通过变式,帮助学生在脑内构建函数知识框架,从而更为灵活地解决与运用函数知识。

三.“数”与“形”的切换

(一)数形结合,解决陌生题目

很多函数题目考的知识点都是相同的,就是题目换了些说法。因此,教师可以引导学生利用数形结合,将题目更直观的用图形展示出来,理解与解决陌生题型。学生在学习与探究二次函数时充满了乐趣,当一道题破解出来时,那满满的成就感,能够激发学生探究与学习的热情,培育“数形结合”的思想。

(二)融入生活,体会数学思想

生活中也时常能见到二次函数的身影,比如利润、工程建设、售价等方面。因此,教师可以融入生活化的元素,引导学生利用数形结合思想去解决问题,加强学生对于二次函数的理解与认知。

例如,教师可以用“定点投篮球”为例,排除干扰因素,设置二次函数问题,比如“y=-x²+4x是篮球的运动轨迹,y为篮球与地面之间的水平高度,x为运动时间,求篮球抛出至与第一次落地,一共需要多久?”。蕴含生活气息的题目能够帮助在坐标轴内建立二次函数图形,提高学生图像的想象与采集能力,学生将数据标注在图像之中,也能够加快学生的解题速度,优化题目框架,摒弃干扰信息,从而提高正确率,拓宽学生思维。

结束语

“数形结合”的思想与二次函数相碰撞,能够加强学生对于抛物线的理解能力,教师也需要在授课解题的过程中融入数形结合的思维模式,利用贴近生活的题目,加强学生“数”与“形”之间的灵活切换,培育其抽象思维能力,提高数学学习效率。

参考文献

[1]许志国.运用数形结合思想解决初中数学二次函数问题[J].试题与研究,2021(25):15-16.

[2]劉洪燕.初中数学教学中数形结合思想应用能力培养探讨[J].中学课程辅导(教师通讯),2021(16):100-101.

[3]张林.数形结合思想在初中数学教学中的运用——以一次函数图像性质为例[J].试题与研究,2020(09):5.

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